Las matemáticas y la axiomática

Uno de los tropos más frecuentes en matemáticas es la idea de que el oficio de un matemático es el de un jugador, y las matemáticas son un juego. Muchos de mis compañeros reconocen que su gusto por los números comenzó como una afición a los juegos mentales, y es costumbre que las presentaciones más concurridas en los congresos sean las de matemática recreativa. Pues bien, todo juego tiene sus jugadores, sus reglas y sus objetivos; ¿cuáles son las reglas y los objetivos para nosotros, los jugadores de matemáticas?

Sea cual sea el ámbito de las matemáticas, desde la educación y los pasatiempos hasta la topología algebraica y el álgebra geométrica, nosotros contamos con un conjunto de reglas que es el mismo para (casi) todos: las leyes de la lógica. La lógica elemental, o “cálculo proposicional“, es en sí mismo un juego bastante entretenido: uno juega a componer proposiciones y encontrar algunas que son siempre verdaderas. Pero si se quiere un juego realmente interesante, hace falta un conjunto de reglas más amplio, un sistema preliminar que los matemáticos llamamos “sistema de axiomas”.

Un axioma es una afirmación que se asume como verdadera sin necesidad de demostración. Por ejemplo, un axioma para los números naturales es “todo número tiene un sucesor”. Vaya, entonces debemos asumir esto como una verdad. Pero, ¿qué es un “número”, y qué es eso de tener un “sucesor”? Éstos son los conceptos primitivos, de los cuales tenemos una noción pero no una definición formal. Los axiomas de un sistema suelen referirse a algunos conceptos primitivos, y de alguna manera los definen. Por ejemplo, los axiomas de la teoría de números son como sigue:

  1. 0 es un número.
  2. Todo número tiene un único sucesor, que es otro número.
  3. 0 no es el sucesor de ningún número.
  4. Si dos números tienen el mismo sucesor, entonces son iguales.
  5. Si el 0 tiene cierta propiedad, y si cuando un número tiene esa propiedad entonces su sucesor también la tiene, entonces todo número tiene esa propiedad. (“Principio de inducción”, ver más adelante).

En el sistema de los números naturales, los conceptos primitivos son “número”, “0” y “sucesor”. No sabemos exactamente qué son, pero sí cómo funcionan, pues los axiomas nos lo dicen. En particular, está ese quinto axioma, que básicamente dice que una afirmación se cumple para todos los números, siempre y cuando el 0 la cumpla y cada número se la herede a su sucesor: una especie de efecto dominó para los números naturales. Por ejemplo, aquella famosa afirmación de que “el orden de los factores no altera el resultado”, que formalmente conocemos como la propiedad conmutativa, no podría demostrarse sin recurrir al principio de inducción. En otras palabras, el principio de inducción es lo que hace que el juego de los números naturales sea realmente interesante.

Ahora bien, si tenemos nuestras reglas, ¿cuál es nuestro objetivo? ¿Cómo se gana el juego? Podríamos decir que “ganamos” el juego si demostramos una afirmación verdadera (un “teorema”), usando las leyes de la lógica para obtener afirmaciones que son consecuencia de los axiomas. En estos momentos, el premio mayor es la famosa conjetura de Goldbach, una afirmación sobre los números primos, todavía por demostrar.

En resumen, el juego de las matemáticas consiste en tomar un conjunto de axiomas, aplicar la lógica y obtener teoremas. A un conjunto de axiomas, junto con las leyes de la lógica y las demás reglas que se necesitan para concluir unas afirmaciones a partir de otras, lo llamamos “sistema formal”. Y las matemáticas son la ciencia que se ocupa de los sistemas formales.

Lo que quiero sostener en esta entrada (y después de una introducción tan larga) es que un sistema de pensamiento (como el que pretendo construir aquí en el blog) es también un sistema formal, con un conjunto de axiomas que denominaré una axiomática. Bueno, no es exactamente un sistema formal, ya que se refiere a entidades concretas y no a objetos abstractos; pero un sistema de pensamiento debe contar con sus axiomas y obtener conclusiones a través de las leyes de la lógica, y sobre todo, de un razonamiento correcto.

En teoría de la argumentación suele decirse que un argumento sólido es aquel cuyas premisas son verdaderas y además es lógicamente válido (es decir, las premisas conducen necesariamente a la conclusión). En otras palabras, un razonamiento puede ser equivocado por dos motivos: porque su estructura lógica es equivocada (es inválido), o porque alguna de las premisas es falsa. Cuando se trata de sistemas formales como los de la matemática, las premisas son los axiomas, y la validez de un argumento viene dada por las leyes de la lógica. Una demostración matemática equivocada suele serlo porque los axiomas se están utilizando indebidamente (premisas falsas), o porque se dan saltos lógicos inadmisibles (invalidez). Por ejemplo, en la famosa demostración de que “uno es igual a dos”, el error está en cancelar un número de manera aparentemente inofensiva, pero lo que realmente se está haciendo es dividir por cero, cosa que los axiomas impiden*.

Cuando se trata de un sistema de pensamiento, la lógica sigue siendo la lógica, pero nuestras premisas son ahora de dos tipos: axiomas (afirmaciones fundamentales que se admiten sin prueba) y observaciones sobre el mundo (que se admiten como verdaderas precisamente porque son observables). Construir un sistema de pensamiento, por lo tanto, es organizar esas observaciones, conjugarlas con los axiomas y obtener conclusiones a través de la lógica.

Si yo afirmo algo y usted afirma lo contrario, suponiendo que ambos estamos aplicando correctamente las leyes de la lógica (en otras palabras: que nuestros argumentos son válidos), nuestras discrepancias sólo pueden atribuirse a las diferencias en nuestra observación y en nuestros axiomas. Ahora bien, si mis observaciones son incorrectas y las suyas son correctas, lo mejor que usted puede hacer es ilustrarme a mí y orientarme acerca de sus observaciones. Si a pesar de todo el desacuerdo persiste, debemos entender que nuestras axiomáticas son incompatibles. La siguiente pregunta sería: ¿por qué son incompatibles?

Si se quiere llegar a la raíz de cualquier diferencia de opinión, la forma correcta de hacerlo es excavar hasta los axiomas, aunque no sea de manera explícita. Por eso en entradas próximas voy a exponer mi axiomática personal y cómo la uso para armar a pedazos mi sistema de pensamiento.

* No es que un axioma diga “no se puede dividir por cero”, sino que la multiplicación está definida de manera que todo número tiene un inverso, salvo el cero. Si el cero tuviera un inverso, podría demostrarse que todo número es igual a cero, lo cual no es deseable. En una entrada futura explico esto con detalle.

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  • […] lector recordará (y si no lo sabía, ahora es un buen momento para enterarse) que en una entrada pasada yo dije que las matemáticas son un juego, y que tienen reglas. Pues bien, para resolver ecuaciones […]

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