Falacias matemáticas #1: Los números irracionales

Una de las ventajas de ser un matemático es que uno obtiene asientos en primera línea para asistir a algunas de las tonterías más estrepitosas que se dicen en los argumentos, incluso en los argumentos serios. Y sin embargo, dado que el público general suele no tener conocimientos muy profundos de matemáticas, esas tonterías podrían pasar por verdaderas para un lector poco atento o poco informado. Por eso voy a publicar en este blog una serie de entradas para ilustrar y corregir esas ideas erróneas que suelen darse.

La entrada inaugural estará dedicada a cierto concepto extraño que hay en matemáticas: los números irracionales.

Hace algún tiempo, en una discusión, comentándole a mi compañero de debate que las matemáticas responden a las leyes de la lógica y, por tanto, al raciocinio, él hizo un comentario de este tipo: “es una insensatez llamar racional algo que admite la existencia de los números llamados irracionales”.

Cualquier estudiante de matemáticas habría contestado de inmediato que el insensato era él, pero la discusión se encaminó de inmediato hacia otros temas, y la falacia pasó impune. Pues bien, no tengo la menor intención de dejarla pasar, así que comencemos: ¿por qué estaba equivocado mi compañero de debate? ¿Qué significa exactamente que un número sea irracional?

Respuesta breve: Los números irracionales se llaman así porque no son racionales, es decir, que “no admiten razón”. Y cuando hablamos de números, “razón” no se refiere al pensamiento lógico ni a nada parecido, sino a una relación entre dos magnitudes. Y un número racional es aquel que representa una razón entre dos números enteros. Los números irracionales no pueden expresarse como razón de dos enteros, por lo tanto no son racionales; y esto no tiene nada que ver con que los llamados números “irracionales” puedan o no puedan ser comprendidos racionalmente.

Ya esbozada la respuesta, vamos a ponerle un poquito de contexto a la cosa, cortesía de la Wikipedia gringa:

Los antiguos griegos, en particular los pitagóricos, creían que todo lo que es medible podía reducirse a los números enteros y a relaciones (razones) entre ellos. Grosso modo, los números enteros son aquellos que pueden medirse en unidades: 1, 2, 3, 4… Los pitagóricos, místicos del número, consideraban los números enteros como el componente fundamental de todo cuanto existe, y por tanto sólo admitían las razones entre números enteros. Por ejemplo, ellos descubrieron que los intervalos de la escala musical eran razones entre las longitudes de las cuerdas.

Pero bueno, ¿qué es una razón? Una razón es, básicamente, una relación entre dos cantidades. Para denotar la razón entre los números a y b, escribimos a:b. Por ejemplo, el intervalo musical que hoy llamamos una “octava” se consigue con cuerdas cuyas longitudes están en razón de 2:1, es decir, que la primera cuerda mide el doble que la segunda. En cambio, si la razón es de 3:2 (si la primera cuerda mide 3/2 de lo que mide la segunda), el intervalo es el llamado “quinta justa”.

Así, pues, los pitagóricos se desenvolvían bastante bien con solamente los números enteros y las razones entre números enteros (las que hoy conocemos como números racionales). Hasta que uno de ellos se dio cuenta de que la raíz cuadrada de 2 no puede ser representada como razón entre dos enteros. Él lo hizo observando que, si lo fuese, uno de los enteros tendría que ser par e impar a la vez, lo cual es absurdo. Esto desencadenó una controversia en el mundo de las matemáticas griegas, que no terminó de resolverse hasta que se aceptó la existencia de esos números “irracionales”.

Los números más conocidos de toda la matemática son irracionales. Es el caso de los famosos π (pi, la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro), e (el número de Euler) y φ (fi, el número áureo). Salvo para el caso de φ, demostrar que estos números son irracionales requiere matemáticas algo avanzadas, y no se consiguió hasta el siglo 18. Sin embargo, ya Arquímedes había aproximado el valor de π como 22/7, y sabía que si era representable como razón de dos enteros, dichos enteros debían ser bastante grandes.

Es curioso observar que los números irracionales suelen escribirse usando símbolos especiales. Y, en efecto, esto se debe a su irracionalidad. Cuando consideramos los números decimales, hay algunos que son finitos, y otros infinitos. Por ejemplo: 1/8 es 0.125, mientras que 1/7 es 0.142857142857… Aunque un número decimal sea infinito, nosotros sabemos que si la parte decimal contiene las mismas cifras repetidas una y otra vez (lo que llamamos un “decimal infinito periódico“), esos números son racionales. Por lo tanto, si queremos expresarlos como decimal, basta mencionar su período, y se entiende que estas cifras se repiten hasta el infinito. Por ejemplo, 1/3 es 0.3 periódico, 1/9 es 0.1 periódico, 1/7 es 0.142857 periódico.

Ahora, ¿qué pasa si queremos escribir un número irracional con todos sus decimales? Si su parte decimal fuese finita, sería un racional. Si fuese infinita periódica, también sería racional. Pero es irracional, y por tanto sólo puede expresarse como un decimal infinito aperiódico; es decir, sus cifras no se repiten, no tienen período. Si quisiéramos escribir con precisión sus cifras decimales, no terminaríamos nunca. No nos basta decir que π es 3.1415926…, pues este valor es cercano a π, pero jamás igual a π. Así, pues, los números irracionales son difíciles de expresar, ya sea como cociente de enteros, ya sea como números decimales. Por eso los matemáticos salimos del paso asignándoles símbolos particulares. Nuevamente la excepción es φ, que puede representarse (engorrosamente) como (1+√5)/2, pero este número en particular tiene propiedades tan fantásticas (y es tan socorrido por ciertos argumentos matemáticos falaces) que planeo dedicarle una entrada entera a él, y entonces trataré el asunto de por qué φ es distinto a π y a e.

En todo caso, el término “número irracional” parece sugerir que estos números, de alguna manera, escapan a nuestra comprensión. Nada más lejos de la verdad. Estos tres números, por ejemplo, pueden aproximarse con tanta precisión como se desee usando métodos numéricos, lo cual convierte su falta de expresión concreta en un problema irrelevante. Además, han sido estudiados tan extensamente que son mucho mejor conocidos que algunos números racionales e incluso enteros. Por ejemplo, la secuencia de los números primos es tan compleja que los matemáticos llevan milenios descifrando sus misterios, y los problemas matemáticos no resueltos más célebres tienen que ver con su distribución en el conjunto de los enteros. ¡Los números primos sí que son “irracionales”!

Los términos que los matemáticos eligen para designar las entidades matemáticas suelen ser desafortunados. Por ejemplo, así como llamamos a ciertos números “racionales” e “irracionales”, también hay otros conjuntos de números que llamamos “reales” e “imaginarios”, y los estudiantes lloran cuando se les dice que tienen que estudiar números que “no existen en realidad”. Por eso, estimado lector, tenga en cuenta que los términos matemáticos suelen esconder conceptos más profundos, que a menudo no tienen nada que ver con el significado literal de los nombres que les damos.

¡Hasta la próxima!

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Comentarios

  • Carvajal (@DanielEsponjoso)  On enero 25, 2012 at 10:07 pm

    [Pulgar arriba]

  • Jose luis  On enero 31, 2012 at 6:21 pm

    Este es un escrito irracional, jejeje.
    No mentiras, me gusto mucho lo de
    “los estudiantes lloran cuando se les dice que tienen que estudiar numeros que no existen en realidad” jajajaja que risa vale, quien no lloraria.

  • Melly  On marzo 25, 2013 at 5:56 pm

    Waooooo nunca me imagine q los numeros irracionales stubiera tan complicado asiii!!!…

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