Falacias matemáticas #3: Demostrando falsedades

En esta ocasión quiero dedicarle la entrada a las falacias matemáticas de verdad. ¿Cómo así? Sucede que la sección comenzó llamándose mal. Una falacia es un argumento que no funciona; y las cosas que he estado señalando, más que todo, no son realmente malos argumentos sino malos entendidos. Lo irracional de los números irracionales no es que no puedan ser “comprendidos por la razón”, sino que no son una razón entre enteros; y el problema de dividir por cero no es que seamos incapaces de hacerlo, sino que la división no es lo que todo el mundo cree.

Por eso, hoy voy a exponer unas cuantas falacias matemáticas genuinas; es decir, argumentos que no funcionan por motivos matemáticos. La mayoría de las falacias matemáticas son simplemente un velo para ocultar una operación ilegal, y, como decía hablando de la división por cero, las operaciones ilegales permiten demostrar cosas evidentemente falsas. Por ejemplo, la siguiente es una “demostración” de que 1 es igual a 2.

Comenzamos suponiendo que hay dos variables iguales: x=y

Multiplicamos de ambos lados por y: xy = y^2

Restamos x² de ambos lados: xy-x^2 = y^2-x^2

En el lado izquierdo sacamos factor común x; el lado derecho es una diferencia de cuadrados, y se factoriza como suma por diferencia: x(y-x) = (y+x)(y-x)

Ya que y-x es factor de ambos lados, lo cancelamos: x = y+x

Finalmente, como x = y, podemos reemplazar y por x: x= 2x

Y cancelando x: 1 = 2

¿Dónde está el error? Sucede que “cancelar” un factor es realmente dividir por ese factor, o (como expliqué en lo de la división por cero) multiplicar por el inverso. Pero ya que x e y son iguales, x-y es cero. Por tanto, estamos cancelando un cero, lo cual no puede hacerse, así que la demostración es inválida.

Hay falacias un poco más sutiles, y que involucran errores matemáticos distintos a la división por cero. Es posible “demostrar”, como dice el cliché, que 2+2 no siempre son 4; en particular, 2+2=5:

Comenzamos observando que todo número es igual a sí mismo, por ejemplo, el -20; es decir, -20=-20

Esto podemos expresarlo como 16-36 = 25-45

Lo cual equivale a (2+2)^2-2\left(\frac{9}{2}\right)(2+2) = 5^2-2\left(\frac{9}{2}\right)(5)

Sumamos de ambos lados 81/4, que es 9/2 al cuadrado: (2+2)^2 -2\left(\frac{9}{2}\right)(2+2)+\left(\frac{9}{2}\right)^2=5^2 -2\left(\frac{9}{2}\right)(5)+\left(\frac{9}{2}\right)^2

Obtenemos de cada lado un trinomio cuadrado perfecto, que procedemos a factorizar: ((2+2)-\frac{9}{2})^2 = (5-\frac{9}{2})^2

Cancelamos los cuadrados: (2+2) - \frac{9}{2} = 5 - \frac{9}{2}

Y finalmente eliminamos los 9/2: 2+2 = 5

¿Dónde está el error esta vez? En la gratuita operación de “cancelar los cuadrados”. Igual que con la división, “cancelar” una operación es ejecutar la operación inversa; en este caso, sacar raíz cuadrada. Pero debemos recordar que todo número tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa. Por ejemplo, 3 al cuadrado es 9, pero -3 al cuadrado también es 9 (pues el producto de negativos es positivo).

Por tanto, si dos números al cuadrado son iguales, no necesariamente esos números son a su vez iguales, del mismo modo que 3 no es igual a -3, a pesar de que 3 al cuadrado sea lo mismo que -3 al cuadrado. En efecto, eso es lo que ocurre en la “demostración”: si hacemos las cuentas, estamos diciendo que 1/2 al cuadrado es lo mismo que -1/2 al cuadrado (lo cual es verdad), pero lo usamos para concluir que 1/2 es lo mismo que -1/2 (lo cual es falso). Con esa falsa igualdad, basta sumar cuatro y medio para obtener la falsa conclusión de que cuatro es igual a cinco.

Buena parte del entrenamiento que recibe un matemático consiste en saber detectar esta clase de errores y poder evitarlos. Cuando dividimos entre una variable n, observamos “para n diferente de cero”. Cuando sacamos una raíz cuadrada, nos aseguramos de incluir un signo “más o menos” para indicar que puede ser la raíz positiva o la negativa. Lo que es más importante: también nos aseguramos de no sacarle raíz cuadrada a un número negativo, pues no hay ningún número real que elevado al cuadrado dé un número negativo. Las raíces cuadradas de números negativos son números imaginarios, de los cuales también hablaré más adelante.

Por supuesto, así como existen estas falacias “elementales”, también existen falacias más complicadas, que recurren a conceptos del cálculo, el álgebra y otras especialidades; los errores se hacen progresivamente más difíciles de pescar. Buscar el error en las falsas demostraciones, así como diseñarlas en primera instancia, son todo un pasatiempo, y espero que a los lectores les haya llamado la atención esta faceta tan entretenida de las matemáticas formales. ¡Hasta la próxima!

Anuncios
Trackbacks are closed, but you can post a comment.

Comentarios

  • Victor  On noviembre 13, 2012 at 7:29 pm

    Estimado, quizá seas el indicado para que me pueda explicar esta demostracion… 0/0 = 2.. si lo has escuchado agradeceria mucho que me puedas explicar donde esta el error…

  • Fabio García  On noviembre 13, 2012 at 10:09 pm

    Víctor: ¡Gracias por comentar! Aunque haya descuidado el blog, todavía me alegra mucho recibir comentarios, en especial de lectores que no conozco.

    Tengo que decir que no sé cómo ayudarte, pues a esa “demostración” le faltan datos. De hecho, ¡falta la demostración entera! “0/0 = 2” es solamente una afirmación, no una demostración.

    Si tuviera que decirte dónde está el error, sería simplemente en que la división por cero no está definida, así que 0/0 es una expresión que no tiene sentido.

    Espero que eso resuelva tu duda. Nuevamente, gracias por leer y comentar, y espero verte por aquí de nuevo si tu duda persiste.

  • gabriela  On junio 28, 2013 at 9:15 pm

    hola me podrian decir como puedo comprobar que 11 = 0

  • marilyn valdivieso ferreyra  On noviembre 12, 2013 at 9:40 pm

    waaaaaaaaaaaa estoy tan aburrida xd jijiiji…. 🙂

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: