Hacer matemáticas con palabras

Para ser el blog de un estudiante de matemáticas, hasta ahora mi blog ha tenido bien poquito (nada, en realidad) de matemáticas. Como para inaugurar el tema, voy a referirme a algo que me ha tenido pensando estos días, en particular ahora que estoy de monitor en un curso de cálculo integral y puedo experimentar de primera mano cómo los no matemáticos desarrollan sus ejercicios de matemáticas.

Esta vez quiero defender la siguiente tesis:

Hacer matemáticas sin palabras es un error monumental.

Lo que quiero decir con esto es que, cuando uno hace matemáticas (ya sea porque está haciendo cuentas por cuenta propia, porque está al tablero enseñándole a otra persona, o por cualquier otra circunstancia) uno tiene la desafortunada tendencia de escribir las fórmulas sin molestarse en explicar de dónde sale cada cosa o por qué sigue los pasos que sigue. Por ejemplo, si uno fuera a derivar alguna función complicada, podría escribir algo como esto: Sigue leyendo “Hacer matemáticas con palabras”

Anuncios

Hacer matemáticas con palabras

Para ser el blog de un estudiante de matemáticas, hasta ahora mi blog ha tenido bien poquito (nada, en realidad) de matemáticas. Como para inaugurar el tema, voy a referirme a algo que me ha tenido pensando estos días, en particular ahora que estoy de monitor en un curso de cálculo integral y puedo experimentar de primera mano cómo los no matemáticos desarrollan sus ejercicios de matemáticas.

Esta vez quiero defender la siguiente tesis:

Hacer matemáticas sin palabras es un error monumental.

Lo que quiero decir con esto es que, cuando uno hace matemáticas (ya sea porque está haciendo cuentas por cuenta propia, porque está al tablero enseñándole a otra persona, o por cualquier otra circunstancia) uno tiene la desafortunada tendencia de escribir las fórmulas sin molestarse en explicar de dónde sale cada cosa o por qué sigue los pasos que sigue. Por ejemplo, si uno fuera a derivar alguna función complicada, podría escribir algo como esto:

displaystyle frac{d}{dx}sinleft(frac{ln x}{x}right) = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{d}{dx} frac{ln x}{x} = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{1-ln x}{x^2}

Sin detenerse a explicar cómo llega de un paso al siguiente. Y eso no es (tan) desafortunado si lo que uno está haciendo es garabatear fórmulas para sí mismo, o en todo caso si ya entiende bien lo que tiene que hacer. Pero sí es una costumbre muy desafortunada si lo que uno escribe es algo que otra persona va a leer, en especial si esa persona no tiene el mismo dominio de las matemáticas que uno. Y eso es porque la razón de ser de las matemáticas es razonar y justificar cada conclusión. Si dejamos las conclusiones solas y no hacemos evidentes las razones, entonces estamos haciendo unas matemáticas vacías, sin el ingrediente esencial de lo que las matemáticas deben ser.

Voy a tratar de ser bien puntual en lo que estoy señalando. Uno, como profesor (o tutor) de matemáticas, está acostumbrado a llenar el tablero de fórmulas o de gráficas, sin escribir en ellos palabra alguna, más que las imprescindibles (del tipo “p es primo”). Puede que uno explique verbalmente el significado de las fórmulas y cómo unas se deducen de otras, y que el otro entienda el razonamiento perfectamente. Pero al anotar solamente las fórmulas en sí, uno está dando a entender implícitamente que no hace falta tomar más apuntes que las propias fórmulas, y bien puede ser que el otro apunte solamente las fórmulas, sin caer en cuenta de que el razonamiento también es parte fundamental de todo el proceso.

Y cuando el otro vuelva a revisar sus notas, se encuentre con que no sabe por qué una fórmula sale de la anterior. De modo que los apuntes acaban no sirviendo para nada. Es más catastrófico todavía cuando es uno mismo quien no sabe cómo sacó las fórmulas que sacó la noche anterior.

Lo que es peor, esta mala costumbre tiene la consecuencia de que los estudiantes acaban creyendo que resolver un ejercicio consiste en anotar una fórmula tras otra en el orden en que el procedimiento dice que hay que anotarlas, y así como uno no se tomó el trabajo de escribir los detalles del razonamiento al explicarlo, ellos tampoco lo escriben, a pesar de que lo que uno quiere evaluar es justo eso: la comprensión del procedimiento. Y en el peor de los casos, ellos se acostumbran a dar por hecho que la comprensión no es importante, y que lo importante es aplicar un procedimiento, sea cual sea; y acaban no siendo conscientes de cuál es el procedimiento que aplican, o por qué.

Pero uno podría, en cambio (y me parece a mí que sería mucho mejor) hacer algo como lo que sigue, poniendo por escrito cada uno de los pasos:

Queremos hallar la siguiente derivada:

displaystyle frac{d}{dx}sinleft(frac{ln x}{x}right)

Como es una función compuesta, vamos a aplicar la regla de la cadena.

displaystyle frac{d}{dx}sinleft(frac{ln x}{x}right) = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{d}{dx} frac{ln x}{x}

Ahora, para desarrollar la derivada interna hay que aplicar la regla del cociente:

displaystyle frac{d}{dx}sinleft(frac{ln x}{x}right) = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{(ln x)^prime x - (ln x) x^prime}{x}

Y resolviendo las derivadas que faltan, obtenemos lo siguiente:

displaystyle frac{d}{dx}sinleft(frac{ln x}{x}right) = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{x/x - ln x}{x}

displaystyle = cos left(frac{ln x}{x}right) frac{1 - ln x}{x}.

Así, por lo menos, alguien que lea y no comprenda no dirá: “no sé de dónde sacaron ese segundo renglón”, sino más bien: “no sé qué rayos es la regla de la cadena”. O en el peor de los casos, “no sé qué rayos es una derivada”. Y así cuando menos sabrá qué nociones le faltan para entender lo que en las fórmulas está escrito. (Vale, la verdad es que omití poner por escrito muchísimos pasos intermedios, pero también estoy dando por hecho que el lector es más o menos competente en ciertas técnicas matemáticas).

Caí en cuenta de la importancia de razonar por escrito cuando, esta semana, una compañera me preguntó si yo tomaba buenos apuntes en clase. Resulta que ella no podía asistir a la clase de ese día, así que me pidió que después de la clase le prestara mis apuntes. De modo que mi misión consistía en tomar los mejores apuntes que pudiera. Me di cuenta enseguida de la diferencia entre tomar notas para uno mismo y para alguien más: esta vez era necesario poner por escrito todos los pasos de cada demostración, todo lo que se decía en voz alta pero no se escribía en el tablero. De lo contrario, mi compañera no podría seguir la demostración paso a paso como lo haría alguien que sí hubiera ido a la clase.

Los autores de libros de texto son conscientes de esto. No es por nada que los textos de matemáticas constan de párrafos y párrafos explicando de dónde sale cada cosa. Uno de mis profesores también es consciente de esto. No es por nada que él nos hacía pasar al tablero a escribir demostraciones completas, palabra por palabra.

Por momentos me parece que esta mala costumbre de hacer matemáticas sin palabras es parte del motivo de la oposición matemáticas/humanidades que hay en la mente de muchas personas. Claro: las matemáticas no usan palabras, sólo números y fórmulas. Si supieran que la gracia de las matemáticas está en la parte que sí se hace con palabras, tal vez se darían cuenta de que son una disciplina como cualquier otra. Con sus rasgos particulares, pero una disciplina al fin y al cabo. Y que la gente comprenda un poco mejor las matemáticas sólo puede ser algo bueno.

Primeras notas hacia la búsqueda del éxito en un blog

Escribir un blog no es difícil. Lo que es difícil es escribir un blog exitoso.

Al decir “exitoso” me refiero al blog que cumple con los objetivos que su autor le asigna. Por ejemplo, a mí me gustaría tener un blog que incentive a los lectores a regresar a él, a leerlo, a comprenderlo y (como mínimo, si todo lo demás falla) a pensar.

Olvidándonos por un momento de la evidente soberbia que hay en pretender poner a pensar a los demás, ¿cómo consigue uno eso? A mí me gusta mucho compartir mis pensamientos, y me gusta mucho creer que mis pensamientos son distintos a los pensamientos de los demás. Si uno fuese a plantear un modelo, tendría que hacer los siguientes supuestos:

  1. Mis pensamientos son, de hecho, diferentes a los de los demás.
  2. Leer pensamientos distintos a los suyos propios estimulará, de hecho, a mis lectores a pensar.

Demos por hecho el supuesto número 1 sin la discusión que se merece, y concentrémonos en el 2. ¿Es verdad que basta pensar distinto para provocar a los lectores?

(Media hora buscando citas en un libro de crítica literaria, luego otra hora organizando estantes en busca de una libreta añeja al notar que las tales citas no aparecen donde se creía que estaban. Luego unos diez minutos buscando en internet hasta que la dichosa cita aparece, resultando ser mucho menos relevante de lo que se esperaba).

El crítico norteamericano Harold Bloom, escribiendo sobre el canon literario de Occidente, declara: “Uno solo irrumpe en el canon por fuerza estética, que se compone primordialmente de la siguiente amalgama: dominio del lenguaje metafórico, originalidad, poder cognitivo, sabiduría y exuberancia en la dicción” (Bloom, p. 39).

Pero si eso de poner a los lectores a pensar ya era bien pretensioso, aspirar a convertirse en clásico lo es más todavía. En cualquier caso, yo no busco hacer literatura, salvo en la medida en que poner por escrito mis pensamientos implica escribirlos. Lo que yo quiero es apenas (?) que la gente disfrute al leerme, y eso debería ser mucho más sencillo. Sin embargo, dejando de lado eso del lenguaje metafórico y la exuberancia en la dicción, creo que la cita de Bloom lo dice todo: originalidad, poder cognitivo y sabiduría.

O en otras palabras: decir cosas que nadie haya dicho antes, porque nadie antes las pensó, y que eso signifique algo para el lector. Lo primero y lo segundo no son tan difíciles (dentro de lo difícil): mis ideas son raras, y lo único que tengo que hacer es aprender a explotar esa rareza.

En lo que toca a lo tercero, sí me jodo. Yo escribo para mí mismo nada más. A veces escribo para otras personas, pero cuando lo hago salen cosas bien feas de leer. Así que de sabiduría me queda más bien poco, y de esperanza un tanto menos.

¡Bah! Al fin y al cabo yo solamente escribo el blog para organizar mis ideas.

(Igual es un propósito, y uno puede fracasar tan bien como puede tener éxito).

¿Qué tan difícil puede ser organizar las propias ideas?

(Mejor hablar de eso en otro momento).

Referencias
Bloom, Harold. El canon occidental. Anagrama: Barcelona, 1995.

El peor de todos los seres humanos

El mundo es un sitio feo.

Vale: que no. A mí me encanta el mundo. Soy consciente de que tengo una vida extraordinariamente fácil y extraordinariamente bonita. Pero eso es un privilegio monumental. Hay muchísima gente que no tiene una vida tan maravillosa.

Hay muchísima gente que tiene motivos legítimos para sentirse mal. Hay quienes quisieran tener hijos y no pueden. El desempleo—sí, un mal endémico de la sociedad de mercado—es una fuente inagotable de dificultades emocionales. Hay problemas de todos los tamaños: desde las congestiones vehiculares hasta la pura y simple falta de alimento.

Por eso pienso que el peor de todos los seres humanos es aquel que se propone maltratar todavía más a los otros.

Constantemente despreciamos a los demás por sus intereses, por aquellas cosas que les causan entusiasmo o les ofrecen alegría. En TransMilenio instan a los usuarios a no comprarle a los vendedores que se suben a los buses, como si ellos lo hicieran por gusto y no por necesidad. Una mujer es víctima de una violación; la policía no se toma en serio sus denuncias, y para colmo culpa a la mujer de lo sucedido.

Los usuarios que hacen burlas ácidas son omnipresentes en el internet, tanto que hasta tienen nombre propio: trolls. Tanto que los demás usuarios dicen, con resignación: “no alimenten al troll“. (Sí, y si tú eres uno de ellos, entiendo que te guste hacer esa clase de cosas. También considero que deberías dejar de hacerlas).

El mundo es un sitio feo, y a casi nadie le gusta ayudar. ¿Pero no podemos siquiera abstenernos de amargarle más la vida a los demás? Las circunstancias por sí solas ya son bastante agravantes; ¿tenemos que aguantarnos también a las personas?

¿Acaso será demasiado pedir un poquito de compasión?