Hacer matemáticas con palabras

(El presente artículo fue publicado en mi nuevo blog, Así escribo este blog. Lo republico aquí en Féngar Dice por ser pertinente a su temática.)

Para ser el blog de un estudiante de matemáticas, hasta ahora mi blog ha tenido bien poquito (nada, en realidad) de matemáticas. Como para inaugurar el tema, voy a referirme a algo que me ha tenido pensando estos días, en particular ahora que estoy de monitor en un curso de cálculo integral y puedo experimentar de primera mano cómo los no matemáticos desarrollan sus ejercicios de matemáticas.

Esta vez quiero defender la siguiente tesis:

Hacer matemáticas sin palabras es un error monumental.

Lo que quiero decir con esto es que, cuando uno hace matemáticas (ya sea porque está haciendo cuentas por cuenta propia, porque está al tablero enseñándole a otra persona, o por cualquier otra circunstancia) uno tiene la desafortunada tendencia de escribir las fórmulas sin molestarse en explicar de dónde sale cada cosa o por qué sigue los pasos que sigue. Por ejemplo, si uno fuera a derivar alguna función complicada, podría escribir algo como esto:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{d}{dx} \frac{\ln x}{x} = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{1-\ln x}{x^2}

Sin detenerse a explicar cómo llega de un paso al siguiente. Y eso no es (tan) desafortunado si lo que uno está haciendo es garabatear fórmulas para sí mismo, o en todo caso si ya entiende bien lo que tiene que hacer. Pero sí es una costumbre muy desafortunada si lo que uno escribe es algo que otra persona va a leer, en especial si esa persona no tiene el mismo dominio de las matemáticas que uno. Y eso es porque la razón de ser de las matemáticas es razonar y justificar cada conclusión. Si dejamos las conclusiones solas y no hacemos evidentes las razones, entonces estamos haciendo unas matemáticas vacías, sin el ingrediente esencial de lo que las matemáticas deben ser.

Voy a tratar de ser bien puntual en lo que estoy señalando. Uno, como profesor (o tutor) de matemáticas, está acostumbrado a llenar el tablero de fórmulas o de gráficas, sin escribir en ellos palabra alguna, más que las imprescindibles (del tipo “p es primo”). Puede que uno explique verbalmente el significado de las fórmulas y cómo unas se deducen de otras, y que el otro entienda el razonamiento perfectamente. Pero al anotar solamente las fórmulas en sí, uno está dando a entender implícitamente que no hace falta tomar más apuntes que las propias fórmulas, y bien puede ser que el otro apunte solamente las fórmulas, sin caer en cuenta de que el razonamiento también es parte fundamental de todo el proceso.

Y cuando el otro vuelva a revisar sus notas, se encuentre con que no sabe por qué una fórmula sale de la anterior. De modo que los apuntes acaban no sirviendo para nada. Es más catastrófico todavía cuando es uno mismo quien no sabe cómo sacó las fórmulas que sacó la noche anterior.

Lo que es peor, esta mala costumbre tiene la consecuencia de que los estudiantes acaban creyendo que resolver un ejercicio consiste en anotar una fórmula tras otra en el orden en que el procedimiento dice que hay que anotarlas, y así como uno no se tomó el trabajo de escribir los detalles del razonamiento al explicarlo, ellos tampoco lo escriben, a pesar de que lo que uno quiere evaluar es justo eso: la comprensión del procedimiento. Y en el peor de los casos, ellos se acostumbran a dar por hecho que la comprensión no es importante, y que lo importante es aplicar un procedimiento, sea cual sea; y acaban no siendo conscientes de cuál es el procedimiento que aplican, o por qué.

Pero uno podría, en cambio (y me parece a mí que sería mucho mejor) hacer algo como lo que sigue, poniendo por escrito cada uno de los pasos:

Queremos hallar la siguiente derivada:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\ln x}{x}\right)

Como es una función compuesta, vamos a aplicar la regla de la cadena.

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{d}{dx} \frac{\ln x}{x}

Ahora, para desarrollar la derivada interna hay que aplicar la regla del cociente:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{(\ln x)^\prime x - (\ln x) x^\prime}{x}

Y resolviendo las derivadas que faltan, obtenemos lo siguiente:

\displaystyle \frac{d}{dx}\sin\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{x/x - \ln x}{x}

\displaystyle = \cos \left(\frac{\ln x}{x}\right) \frac{1 - \ln x}{x}.

Así, por lo menos, alguien que lea y no comprenda no dirá: “no sé de dónde sacaron ese segundo renglón”, sino más bien: “no sé qué rayos es la regla de la cadena”. O en el peor de los casos, “no sé qué rayos es una derivada”. Y así cuando menos sabrá qué nociones le faltan para entender lo que en las fórmulas está escrito. (Vale, la verdad es que omití poner por escrito muchísimos pasos intermedios, pero también estoy dando por hecho que el lector es más o menos competente en ciertas técnicas matemáticas).

Caí en cuenta de la importancia de razonar por escrito cuando, esta semana, una compañera me preguntó si yo tomaba buenos apuntes en clase. Resulta que ella no podía asistir a la clase de ese día, así que me pidió que después de la clase le prestara mis apuntes. De modo que mi misión consistía en tomar los mejores apuntes que pudiera. Me di cuenta enseguida de la diferencia entre tomar notas para uno mismo y para alguien más: esta vez era necesario poner por escrito todos los pasos de cada demostración, todo lo que se decía en voz alta pero no se escribía en el tablero. De lo contrario, mi compañera no podría seguir la demostración paso a paso como lo haría alguien que sí hubiera ido a la clase.

Los autores de libros de texto son conscientes de esto. No es por nada que los textos de matemáticas constan de párrafos y párrafos explicando de dónde sale cada cosa. Uno de mis profesores también es consciente de esto. No es por nada que él nos hacía pasar al tablero a escribir demostraciones completas, palabra por palabra.

Por momentos me parece que esta mala costumbre de hacer matemáticas sin palabras es parte del motivo de la oposición matemáticas/humanidades que hay en la mente de muchas personas. Claro: las matemáticas no usan palabras, sólo números y fórmulas. Si supieran que la gracia de las matemáticas está en la parte que sí se hace con palabras, tal vez se darían cuenta de que son una disciplina como cualquier otra. Con sus rasgos particulares, pero una disciplina al fin y al cabo. Y que la gente comprenda un poco mejor las matemáticas sólo puede ser algo bueno.

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