Falacias matemáticas #2: Dividir por cero

Hace rato tenía pendiente escribir el segundo capítulo de mis falacias matemáticas. Hoy voy a tratar el asunto de la división por cero, un problema tan comentado que se le ha denominado el Primer Mandamiento de las Matemáticas: “no dividirás por cero”. La idea es ilustrar un poquito la cosa y ver que las respuestas más comunes al asunto delatan una falta de comprensión de las matemáticas.

Lo que todos sabemos, para comenzar, es que no se puede dividir por cero. ¿Por qué no? Muchas veces el principio se nos presenta casi dogmáticamente y sin mayores explicaciones. Las calculadoras producen mensajes de error. Hasta el programa Microsoft Excel bota una preciosa advertencia de #¡DIV/0!. Todo esto puede resultar incluso mistificante. Si somos capaces de multiplicar por cero, ¿por qué somos perfectamente incapaces de dividir por cero?

Las reacciones llegan hasta el extremo de convertirse en imágenes como la de la izquierda. La gente dice que dividir por cero desencadena el apocalipsis, o produce agujeros negros. Pero esto, a pesar de ser una manera bastante creativa de llamar la atención, en última instancia sólo contribuye al problema, porque se centra sólo en la dogmática “prohibición” de dividir por cero, y pasa por alto la verdadera esencia del asunto.

Hagamos primero una pregunta sencilla: ¿qué es dividir? Aunque me imagino que el lector ya lo sabe, vamos a hacer un repaso de la noción para que el lector pueda entender lo que sigue más allá.

En el sentido más escuelero, con aquellos ejemplos en que había niños y manzanas y a cada niño le tocaban tantas manzanas, dividir es repartir. Cuando contamos seis manzanas y tres niños y decidimos que a cada niño le tocan dos manzanas, cuando se nos dan cincuenta mil pesos para la semana y verificamos que eso significa un poco más de siete mil pesos para cada día, cuando tres personas tienen que pagar una cuenta de $120.000 y comprueban que cada uno deberá poner $40.000, lo que estamos haciendo es repartir un conjunto en cierta cantidad de partes iguales.

Por supuesto, el problema salta a la vista: ¿Cómo hace uno para repartir un conjunto en cero partes iguales? Yo sé que si hay seis manzanas y tres niños, a cada niño le tocan dos manzanas, ¿pero si hay cero niños? ¿Siquiera tiene sentido preguntar cuántas manzanas le tocarán a cada “uno”, cuando no hay ni uno?

Ése es el motivo, informalmente hablando, por el cual no se puede dividir por cero. Pero cuando a uno, en clase de álgebra, le advierten que no debe dividir por cero, el profesor no se refiere a reparticiones aritméticas como las de arriba, sino al manejo de expresiones algebraicas. Cuando uno está resolviendo ecuaciones, hace cosas como “pasar a restar” un término o “pasar a dividir” un factor. Y es esta clase de manipulaciones lo que el profesor tiene en mente cuando hace la advertencia.

El lector recordará (y si no lo sabía, ahora es un buen momento para enterarse) que en una entrada pasada yo dije que las matemáticas son un juego, y que tienen reglas. Pues bien, para resolver ecuaciones algebraicas necesitamos las reglas del álgebra, y éstas se refieren sobre todo a las operaciones básicas. Una de esas pocas cosas que a todo el mundo le quedan después del colegio es que las operaciones básicas son cuatro: suma, resta, multiplicación y división. Pero esta clasificación es problemática.

Primero, porque la resta es una suma disfrazada, y la división es una multiplicación disfrazada. Segundo, porque la resta y la división carecen de ciertas propiedades muy importantes, en particular del archifamoso “el orden de los factores no altera el producto”, que los matemáticos llamamos propiedad conmutativa. Tercero, porque al definir una operación queremos poder operar cualquier número con cualquier número, y el cero nos impide conseguir esto con la división (afortunadamente, la resta no tiene una distinción semejante).

Por eso en álgebra las operaciones fundamentales son la suma y la multiplicación. ¿Cuáles son, entonces, las reglas de la suma y la multiplicación?

  • Lo primero es que debemos poder sumar [o multiplicar] cualquier cantidad de números de manera consistente, de modo que la suma [y la multiplicación] debe ser asociativa, es decir, que a + b + c tiene un solo significado, sin importar que hagamos primero la suma de a y b o la de b y c.
  • Lo segundo es que el orden debe ser irrelevante: que a + b debe ser lo mismo que b + a. Decimos que la suma [y la multiplicación] es conmutativa, cosa que la resta y la división no son (dese cuenta el lector de que 3 – 5 no es lo mismo que 5 – 3).
  • Lo tercero es que la suma [y la multiplicación] debe tener un elemento neutro, es decir, un número que sumado [multiplicado] con cualquier otro lo deje igual. Para la multiplicación, el elemento neutro es el uno; para la suma, el cero. Es importante además que 1 sea distinto de 0, de lo contrario todos los números serían iguales a 0 y nuestro sistema sería inservible.
  • Lo cuarto es que existan inversos, lo cual significa que a cada número le corresponde otro número, de modo que al sumarse ambos el resultado sea 0 [y otro con el cual, al multiplicarse, se obtenga 1]. El motivo por el cual necesitamos inversos es para poder hacer aquellas maniobras de “pasar a restar/dividir” o “cancelar” elementos. Si yo tengo x + y pero necesito sólo x, tengo que sumar –y, el inverso de y (con respecto a la suma). Así obtendría x + y + (-y), que es igual a x + 0, que es igual a x. A menudo, el inverso con respecto a la suma se llama negativo, y en cambio con respecto a la multiplicación se llama simplemente inverso.
  • Todas las reglas anteriores valen independientemente para la suma y la multiplicación. La última regla es la que nos relaciona ambas operaciones: la propiedad distributiva. Si multiplicamos un número por la suma de otros dos, por ejemplo, 2 × (3 + 4), podemos sumar primero y luego multiplicar para obtener 2 × 7 = 14, o bien podemos repartir el 2 entre los sumandos, para obtener 2 × 3 + 2 × 4, que es igual a 6 + 8 = 14, el mismo resultado.
  • Faltaría mencionar que la suma y la multiplicación respetan las igualdades, es decir, que si sumamos o multiplicamos por el mismo número cada lado de una igualdad, la igualdad se conserva.

Todas las manipulaciones del álgebra, todos los métodos para resolver ecuaciones, están fundados en estas cinco propiedades. La factorización, por ejemplo, es simplemente aplicar la propiedad distributiva al revés, encontrando un factor que ya está “repartido” y extrayéndolo como factor común.

Así, pues, restar es sumar el negativo, y dividir es multiplicar por el inverso. Con lo cual ya estamos en condición de decir por qué no se puede dividir por cero:

Porque el cero no tiene inverso.

En otras palabras, no hay ningún número que multiplicado con 0 dé como resultado 1.

Esto no es capricho de los algebristas ni es dogma de fe, sino una consecuencia directa de las reglas del álgebra. Por eso voy a incluir la demostración, que aparece en cursiva para que el lector pueda saltársela sin inconvenientes, pero debe ser consciente de que la demostración existe.

Demostración. Supongamos que hay un número, que llamaremos b, tal que al multiplicarse con 0 da 1, es decir b×0 = 1. Por la regla 3, todo número sumado con cero da el mismo número, en particular 0 + 0 = 0. Al multiplicar de ambos lados por b (regla 6), obtenemos b × (0 + 0) = b×0. Por la regla 5 podemos distribuir b, para obtener b×0 + b×0 = b×0. Por hipótesis b×0 = 1, así que reemplazamos para escribir 1 + 1 = 1. Sumamos -1 de ambos lados (regla 6): 1 + 1 + (-1) = 1 + (-1). Por la regla 4, al sumar 1 con -1 da 0, así que 1 + 0 = 0, y por la regla 3 eliminamos el cero, concluyendo que 1 = 0. ¡Pero por definición 1 es distinto de 0! Hemos llegado a una contradicción. Por tanto, 0 no puede tener inverso.

Al leer la demostración uno se da cuenta de que aparecen involucradas todas las reglas, excepto las primeras dos. En otras palabras, que el cero no sea invertible no se debe a ninguna de las reglas en solitario, sino al sistema en su conjunto. Dicho de otra manera: si queremos dividir por cero, no podemos hacer álgebra.

Como vemos, pues, lo que significa ese mandamiento de “no dividirás por cero” es que, al momento de hacer una división algebraica (que multiplicar por un inverso), debemos tener cuidado de asegurar que el inverso exista en primera instancia. En la mayoría de los casos, esto se reduce a una acotación del tipo “x distinto de cero”. Y esto se debe a que, como el cero no tiene inverso, corremos el riesgo de hacer una operación por fuera de las reglas.

Por eso el supuesto mandamiento no es tal. Es solamente un recordatorio de que las matemáticas tienen reglas, y hay que seguirlas. De lo contrario, uno acaba demostrando que 1 es igual a 0, o que una suma de infinitos términos positivos puede dar como resultado -1.

Por último, quisiera tratar otra manera igualmente errada de ver el asunto de la división por cero.

Hay mucha gente que dice que una división por cero produce un resultado de “infinito“, lo cual también pone de manifiesto una ignorancia matemática; una que es más peligrosa todavía, porque además el hablante da la impresión de saber de qué está hablando. El infinito es en sí mismo una noción bastante incomprendida, a la cual ya le dedicaré su propio espacio en esta sección, pero por lo pronto nos basta con saber que el infinito no es un número y, por tanto, no puede multiplicarse ni dividirse ni ser el resultado de una operación con números.

Si pudiéramos operar con el infinito, tendríamos que concluir lo siguiente:

  • Cualquier número multiplicado por cero da cero, por tanto ∞×0 = 0.
  • 1 dividido entre cero da infinito, por tanto (pasando el cero a multiplicar) ∞×0 = 1.
  • Infinito por infinito es infinito, por tanto (multiplicando por cero, que es el inverso) ∞×0 = ∞.

Tres operaciones distintas, tres resultados distintos. ¿Se entiende ahora que el infinito no es un número? Y eso para no detenernos en que el infinito puede ser positivo o negativo, etcétera… pero ya fue bastante matemática para una sola lectura. ¡Hasta la próxima!

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Comentarios

  • Pablo Montes  On marzo 4, 2012 at 11:42 am

    matematica tropical-

  • Victor  On noviembre 13, 2012 at 7:14 pm

    EXCELENTE!!! que explicacion más completa de esto. Yo crei desde la primaria que no se podia dividir por 0 simplemente porque el resultado era infinito…

  • Patricio Bravo Arenas  On febrero 27, 2014 at 6:39 pm

    Felicitaciones, muy claro. Saludos!

  • Arturo armas  On agosto 26, 2014 at 10:24 am

    Explica los limites, cuando tienden a cero. Osea, la ultima parte de esta lectura.

  • Fabio García  On agosto 26, 2014 at 9:41 pm

    Pero yo no me referí a los límites en ninguna parte, salvo en la imagen que acompaña los últimos párrafos.

    La idea de la imagen es mostrar que otra posible definición de la división por cero (como el límite de la división cuando el divisor tiende a cero) también fracasa: el límite ni siquiera existe, pues por lado y lado los límites son distintos.

  • Luciano  On noviembre 17, 2014 at 9:21 am

    Muy Bueno! Solo una cosa, en el segundo ejemplo con los infinitos pasas el cero multiplicando, que seria asumir que 0/0 es igual a 1. Saludos!

  • Fabio García  On noviembre 17, 2014 at 2:34 pm

    Tienes razón, Luciano. Al menos, ésa sería la justificación si fuera lícito hacer esa clase de operaciones con el cero y el infinito. ¡Gracias por comentar!

  • José Pérez  On mayo 4, 2016 at 8:52 am

    Excelente su explicación.

  • Elian Granados Mata  On marzo 22, 2017 at 6:13 pm

    Entonces, como 0 no tiene inverso multiplicativo, hemos convenido en NO DIVIDIR por cero.
    Eso no es más que una convención, pero no implica que 0/0 no pueda ser igual a algún número.
    Quizá digas que esa división carece de sentido pues no se puede repartir nada entre nada y obtener algo, pero del mismo modo 0/3 = 0, carece de sentido (si hablamos de tomar nada y repartirlo entre tres lo cual nos da nada) ya que la repartición NO se puede llevar a cabo pues no tienes algo para repartir. Sin embargo, aceptamos un resultado numérico de un acto que no se puede ejecutar.

  • Fabio García  On abril 8, 2017 at 10:17 pm

    ¡Saludos! Supongamos que 0/0 es igual a algún número. Entonces, por la regla de la suma de cocientes, para todo número x,
    x + 0/0 = x/1 + 0/0 = (x·0 + 0·1)/(1·0) = (0+0)/0 = 0/0,
    y cancelando 0/0, concluimos que x = 0, es decir, todos los números son iguales a cero, lo cual es absurdo.

    Si queremos deshacernos de la contradicción, tenemos dos opciones: o descartamos que 0/0 sea una expresión válida, o le ponemos (artificialmente) una excepción a la regla de la suma de cocientes. Cuál de las dos decisiones tomar, lo dejo en tus manos.

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